Il TEOREMA MATEMATICO di CASTEL del MONTE

 

 

Con la disponibilità di una straordinaria e inedita massa di dati, fu possibile assemblare l’intero monumento in tutta la sua complessità, avviando, anche un esteso programma di ricerca finalizzata all’analisi geometrico-compositiva dell’edificio, con il fondamentale supporto di calcolo, analisi e programmazione matematica del prof. Lorenzo Roi, già docente liceale di matematica e fisica, particolarmente interessato alle nuove tecnologie ed autore di diverse pubblicazioni in ambito didattico.

Il risultato di questa ricerca durata circa 3 anni, ha prodotto una trattazione completa sulla geometria e le proporzioni della enigmatica morfologia architettonica di Castel del Monte, in corso di pubblicazione, di cui questo abstract rappresenta soltanto una sintetica anticipazione dei temi trattati ed alcuni dei più significativi risultati raggiunti.

Alla base di questa ricerca  si è reso necessario concepire una innovativa metodologia scevra da interpretazioni soggettive e che fosse in grado di tradurre la massa di dati complessi, acquisiti digitalmente, in forme geometriche capaci di sintetizzare correttamente le volumetrie architettoniche.

Fig.4 Sintesi grafica del processo di reverse architecture.    

Questo processo di sintesi geometrica inversa, il cui fondamento teorico risiede nelle tecniche matematiche di regressione o metodo dei minimi quadrati[1] utilizzato anche come tecnica di interpolazione statistica applicato all’architettura, lo abbiamo definito reverse architecture[2] mutuando il termine dal reverse engineering ma con una connotazione più attenta agli aspetti geometrici, morfologici e compositivi che a quelli strutturali, meccanici e tecnologico-funzionali.     

Attraverso questa procedura, le cui fasi salienti possono essere sinteticamente descritte dall’immagine sopra indicata (Fig.4), è stato possibile generare un modello statistico tridimensionale estremamente accurato, da un punto di vista dimensionale, che rappresenta la sintesi geometrica delle strutture murarie del castello.

Fig.5 [sx] Modello di rilievo statistico 3d, [dx] individuazione delle 4 quote di sezione planimetrica.

 

L’intersezione del modello statistico, con una serie di piani orizzontali posizionati alla quota opportuna, ha determinato lo schema planimetrico della figura sottostante (Fig.6). Possiamo certamente indicare tale risultato come il migliore finora ottenuto, sia per la strumentazione utilizzata che per la metodologia applicata ma, nonostante questo, non lo abbiamo ritenuto sufficiente per raggiungere l’obiettivo.

Fig.6 Schema planimetrico del 1° livello in cui si evidenziano i lati anomali

 

Se si osservano gli ottagoni di Castel del Monte si potrà facilmente notare che i lati non sono proprio uguali e che, in taluni casi (indicati in rosso nella planimetria della Fig.6), risultano fortemente anomali rispetto ad un ottagono regolare.

Le murature del castello, di cui intendiamo decodificare la struttura geometrica, sono oggi il risultato di una stratificazione di eventi che hanno interessato le pietre di cui sono composte per quasi 8 secoli. Il degrado del tempo e le massive operazioni di restauro (Fig.7) hanno certamente contribuito ad alterare la cortina muraria originale che può, a sua volta, discostarsi dal tracciato di progetto per errori di cantiere o impreviste variazioni tecniche decise dal protomagister[3] per i più disparati motivi.

Fig.7 Esempio di evoluzione della cortina muraria.

 

Tentare di risolvere l’enigma geometrico di Castel del Monte lavorando su uno schema planimetrico formato da ottagonoidi[4], come è stato fatto fino ad ora, è come tentare di risolvere un puzzle con i giusti pezzi ma deformati.

L’intuizione più importante di questo lavoro si sviluppa proprio in questa fase: applicare i metodi di regressione matematica ai vertici degli ottagonoidi facendoli regredire alla loro ipotetica posizione ottagonale originale (Fig.8).

Venne così assemblato e testato un algoritmo di calcolo con il software MATHEMATICA^®, utilizzando GRASSHOPPER^® in ambiente CAD Rhinoceros^® per lo scambio dei dati relativi ai vertici degli ottagonoidi.

Fig.8 Illustrazione grafica delle operazioni di regressione ottagona.

 

Questa prima fase di sintesi ci permise di confrontare i dati di rilievo con le relative regressioni geometriche ottagonali scoprendo che le anomalie, precedentemente evidenziate e ben note agli studiosi, sembravano derivare da scelte deliberate più che da casuali errori costruttivi come sostiene Schirmer.

Le anomalie più importanti riguardano la corte centrale e le 8 torri. Analizzando la corte abbiamo osservato, in linea con altri autori, una deformazione centripeta di tutto il lato rivolto a est (Fig.9).  

Fig.9 L’analisi dei vertici della corte ottagona con il rilievo sovrapposto alla regressione.   

 

Indipendentemente dai motivi che hanno determinato un cambiamento di programma durante i lavori di costruzione del maniero -tema che abbiamo ampiamente trattato nel lavoro principale in corso di redazione- confrontando la traslazione dei vertici rilevati con la loro regressione ottagona, ci si accorse che tale deformazione, per quanto macroscopica, segue elasticamente il tracciato ottagonale regolare al quale, comunque, gli altri 6 vertici si attengono.

Di tutt’altra natura risultano le anomalie delle torri. Gli 8 torrioni ottagonali di Castel del Monte sono innestati negli 8 spigoli del corpo principale costituito dalle 16 stanze del castello.

Ogni torrione è dotato di un basamento più largo rispetto al corpo in elevazione, ed è ingentilito da una modanatura perimetrale che incornicia la torre. L’analisi metrica mostra una sostanziale regolarità dei lati del basamento che si osserva anche nel corpo delle torri con la sola esclusione dei lati che si innestano nella muratura del corpo principale (Fig.10).

Fig.10 Individuazione dei lati anomali delle torri e rapporto con il basamento.

 

Questi lati, che risultano effettivamente più lunghi di ben 15 cm circa rispetto agli altri, diventarono l’enigma più oscuro di Castel del Monte: perché, in una generale sinfonia architettonica di ottagoni, le torri sono così sbagliate?

Schirmer nel suo lavoro nota la regolarità dimensionale dei basamenti del castello e registra l’anomalia dei due lati delle torri, ma non si preoccupa minimamente di fare un’analisi. Götze critica questa mancanza ma, pur avendo accesso alle stesse informazioni, decide di ignorare completamente i basamenti e si focalizza esclusivamente sull’anomalia delle torri, elaborando un’astrusa teoria successivamente contestata dallo stesso Schirmer.

Sorprendentemente nessuno si è mai accorto che il motivo della anomalia delle torri risiede nella semplice natura geometrica del problema.

Il torrione è costituito da un basamento che incornicia, ad una distanza costante[5], il corpo in elevazione della torre. Per tale ragione l’ottagono del basamento è concentrico a quello della torre. 

La figura sottostante (Fig.11) ci illustra il problema geometrico che dovette affrontare l’Architetto di Castel del Monte, ponendosi l’obiettivo di voler innestare, radialmente e perpendicolarmente alla muratura del corpo principale, negli 8 vertici, i torrioni ottagonali.

Fig.11 Le due soluzioni al problema dell’innesto del torrione nella cortina muraria.

 

Per preservare la regolarità geometrica del tracciato ottagonale di base, l’architetto poteva scegliere fra 2 sole soluzioni:

A.  innestare il torrione dal punto 1 preservando la regolarità del basamento con il conseguente allungamento del lato regolare della torre della dimensione k, necessario per poterla innestare nella muratura perpendicolare del corpo principale;

B.  innestare il torrione dal punto 2 preservando la regolarità della torre con il conseguente inserimento, nella muratura perpendicolare del corpo principale, del lato regolare del basamento che si sarebbe conseguentemente ridotto della dimensione k.

Come ben sappiamo lo sconosciuto architetto, scelse la soluzione A e quasi certamente lo fece per un motivo fondamentalmente strutturale: il basamento in questione, pur ingentilito da una poderosa modanatura, in realtà non è un semplice orpello decorativo, ma è il piede di fondazione della torre, il plinto strutturale perimetrale dalla cui base inizia la costruzione.

Alla luce di queste evidenze il basamento iniziò ad assumere un ruolo da protagonista rispetto alla torre ma, prima di questa presa di coscienza, non potevamo minimamente immaginare quanto in realtà fosse coinvolto in tutta la costruzione del castello.

 

Tracciando le circonferenze circoscritte ai basamenti, scoprimmo che gli spazi vuoti fra i torrioni corrispondono, con buona approssimazione, alle circonferenze degli stessi basamenti incastonate in modo da formare un’unica corona di circoli, la cui geometria dei centri è un esadecagono cioè un poligono a 16 lati (Fig.12).

Fig.12 Le circonferenze circoscritte ai basamenti e le circonferenze fantasma.

 

In effetti, se si vuole costruire un’architettura turrita, basata su un poligono regolare ottagonale, per ottenere una distribuzione centralmente simmetrica delle torri si dovrebbe necessariamente considerare una corona di 16 elementi con 8 parti piene (torri) e 8 spazi vuoti. Ed è esattamente quello che troviamo in Castel del Monte.

Questa configurazione, basata su cerchi tangenti (fig.13), nasconde un legame matematico di grande bellezza concettuale e compositiva: la grandezza della corona su cui “ruotano” i centri dei cerchi tangenti è parametrizzata al numero dei componenti ed alla loro dimensione.

 

Fig.13 Composizioni simmetriche di cerchi uguali tangenti in rapporto a Castel del Monte.