ANALISI del MODELLO PLANIMETRICO AUREO-SOLARE di CASTEL del MONTE ipotizzato da Aldo Tavolaro

Nel 2020, grazie a un incarico ministeriale, è stata realizzata una campagna di digitalizzazione integrale e dettagliata del sito monumentale UNESCO di Castel del Monte. L’analisi numerica dei dati di rilievo ha consentito lo sviluppo di un metodo matematico per verificare e confrontare le più accreditate ipotesi geometriche elaborate negli ultimi cinquant’anni sull’impianto architettonico, offrendo così uno strumento oggettivo per la loro classificazione.

Questo scritto intende ripercorrere ed analizzare, con metodo scientifico, l’ipotesi aureo-solare del noto studioso Aldo Tavolaro il quale, a partire dagli anni Settanta, fu certamente il primo ad avere indagato la genesi geometrica del castello federiciano.

Tra i molteplici argomenti trattati da Tavolaro, si intende approfondire esclusivamente i presunti rapporti tra le geometrie solari e la costruzione geometrica del tracciato planimetrico.

 

L’interpretazione astronomico-simbolica del tracciato planimetrico di Castel del Monte secondo Tavolaro

Lo studioso, eseguendo calcoli astronomici, sostiene che i quattro punti corrispondenti al sorgere e al tramontare del Sole, nelle date dei solstizi d’inverno e d’estate, formano idealmente una figura rettangolare nota come quadrilatero solstiziale, le cui proporzioni, esclusivamente alla latitudine geografica di Castel del Monte, sarebbero prossime ad un rettangolo aureo.Giunge così alla convinzione che “Castel del Monte, nel rispetto di una tradizione esoterica, è un concentrato di simboli cosmici e quindi di implicazioni astronomiche, geografiche, matematiche e geometriche.” ^[1]  

La figura 01 illustra la costruzione geometrica proposta da Tavolaro: “Partendo dalla linea Est-Ovest stabiliamo sul bordo del disco quattro punti, due a destra e due a sinistra, distanti ciascuno dalla linea equinoziale 32° circa. Se congiungiamo questi quattro punti, che rappresentano il sorgere e il tramontare del Sole ai solstizi, disegneremo un rettangolo in divina proporzione, ossia moltiplicando la lunghezza del lato corto del rettangolo per il numero d’oro 1,618 otterremo la misura del lato lungo.” ^[2] 

Fig. 01 Rielaborazione dello schema grafico proposto da Tavolaro, che illustra il rettangolo solstiziale con i lati in rapporto aureo.   

 

Tavolaro è convinto di aver individuato la sintesi ideale dei principi cosmici alla base dell’architettura di Castel del Monte che si esprime attraverso la figura del rettangolo aureo.

“Osserviamo innanzi tutto come nasce il castello da questa elaborazione geometrica che, peraltro, coesiste con cadenze astronomiche confermandoci che gli antichi costruttori conoscevano segreti che consentivano loro, nell’edificazione di monumenti di particolare significato, di armonizzare le leggi della matematica e della geometria con quelle naturali dell’astronomia e della geografia.” ^[3] Nella figura 02, “[…] vediamo disegnati all’interno della pianta del piano terra di Castel del Monte due rettangoli in croce che hanno gli angoli coincidenti coi punti delle cortine in cui si innestano gli zoccoli delle torri. Entrambi questi rettangoli hanno i lati in rapporto aureo, ossia il lato minore moltiplicato per il numero d’oro 1,618 dà la lunghezza del lato maggiore (come nel grande rettangolo disegnato dal Sole).” [4]  

Fig. 02 Rielaborazione dello schema grafico proposto da Tavolaro che illustra due rettangoli aureo-solstiziali costruiti sulla base della planimetria di Castel del Monte.   

 

Il quadrilatero solstiziale

Il quadrilatero solstiziale trova origine in un preciso fenomeno astronomico legato ai solstizi che rappresentano due momenti dell’anno in cui il Sole raggiunge la sua massima o minima altezza nel cielo a mezzogiorno, segnando l’inizio dell’estate e dell’inverno.

Durante l’inverno l’arco diurno del moto apparente del Sole, spostandosi più a Sud, risulta più corto, mentre durante l’estate, spostandosi più a Nord, risulta più lungo. Questa variazione stagionale, dipendente dall’inclinazione dell’asse terrestre, ha come effetto una diversa posizione di levata e tramonto del Sole nell’arco dell’anno, raggiungendo ai solstizi la massima angolazione, osservabile sull’orizzonte, definita amplitudine.   

Tracciando idealmente su un piano orizzontale le posizioni di levata e tramonto del Sole esattamente in quei giorni, si ottiene il cosiddetto quadrilatero solstiziale, una figura geometrica che sintetizza l’arco solare diurno e ne evidenzia le variazioni angolari. [Fig. 03]

Le proporzioni di questo rettangolo, perfettamente simmetrico rispetto all’asse meridiano (Nord-Sud) e all’asse equinoziale (Est-Ovest), variano in base alla latitudine geografica dell’osservatore, un particolare aspetto che rientra negli studi di archeoastronomia, disciplina che analizza le relazioni tra i siti monumentali architettonici antichi e i fenomeni celesti.

Fig. 03 Rappresentazione grafica del quadrilatero solstiziale, determinato dall’intersezione degli archi diurni, formati dal moto apparente del sole nei giorni dei solstizi, con l’orizzonte astronomico.   

 

Le indagini astronomiche di W. Zick

In occasione dei rilevamenti svolti dall’equipe di Schirmer nel corso degli anni Novanta^[5], furono verificate anche le molteplici teorie astronomico-solari di Tavolaro che condussero alla seguente conclusione: “Sulla base delle osservazioni astronomiche riportate, si può quindi concludere con alta probabilità che nella concezione del castello non vi siano stati motivi astronomico-esoterici”^[6].  

In particolare, vengono confutate da Zick anche le presunte proporzioni auree del quadrilatero solstiziale: “[…] secondo Tavolaro, le direzioni ottenute tracciando un cerchio attorno al castello e intersecandolo con i punti di alba e tramonto del Sole durante i solstizi d’inverno e d’estate formano un rettangolo. Il rapporto tra i lati di questo rettangolo dovrebbe corrispondere alla sezione aurea, che sarebbe possibile solo alla latitudine geografica di Castel del Monte. Tuttavia, il rapporto delle dimensioni calcolato sulla base degli azimut estremi del Sole risulta essere 1,562.”^[7]

Proprio in merito al quadrilatero solstiziale, le argomentazioni dello studioso tedesco, per quanto puntuali, potrebbero aver risentito di un’impostazione metodologica che, trascurando alcuni aspetti determinanti, lo ha condotto a una soluzione non del tutto condivisibile.

 

Una questione di metodo

Purtroppo, sia Tavolaro che Zick si mostrano piuttosto avari di informazioni relative al metodo di calcolo utilizzato per determinare gli azimut del Sole all’alba e al tramonto durante i solstizi a Castel del Monte.

Un elemento determinante per la corretta definizione delle proporzioni del quadrilatero solstiziale risiede nella scelta di considerare o escludere la rifrazione atmosferica nel calcolo astronomico, aspetto che potrebbe spiegare lo scarto tra la proporzione indicata da Tavolaro (1.618) e quella calcolata da Zick (1.562).

La rifrazione atmosferica è un fenomeno che fa apparire gli astri più alti nel cielo di quanto siano realmente. Quando la luce attraversa i densi strati d’aria dell’atmosfera, i raggi luminosi si curvano verso il basso, creando l’illusione che l’astro sia più alto rispetto alla sua reale posizione. Questo effetto è più evidente quando un astro si trova in prossimità dell’orizzonte, perché la luce deve attraversare uno strato più spesso di atmosfera. Il Sole al tramonto o all’alba appare ancora sopra l’orizzonte anche quando la sua vera posizione è già sotto di esso. [Fig.04]

Fig. 04 Rappresentazione grafica dell’effetto della rifrazione atmosferica: differenza tra la posizione reale e quella apparente (misurata) del Sole all’alba, con l’errore di azimut evidenziato.

 

Verificando il rapporto calcolato da Zick, pari a 1,562, derivato dagli azimut estremi del Sole con l’ausilio del planetario virtuale Stellarium®, emerge che esso si basa su una misurazione ottenuta tramite osservazione diretta del sole all’orizzonte, ad esempio dell’alba al solstizio d’estate, e quindi include l’errore di azimut causato dalla rifrazione atmosferica.

Nel XIII secolo, per determinare il giorno dei solstizi, si poteva fare affidamento sull’abaco dei dati astronomici più avanzato dell’epoca, noto come Tavole Toledane, tradotte in latino dall’arabo alla fine del XII secolo. Tuttavia, il metodo più pratico, soprattutto in ambito architettonico, e al contempo naturalmente più preciso per una specifica località geografica restava l’osservazione diretta dell’ombra tramite uno gnomone o del Sole al mezzogiorno solare vero, coincidente con il meridiano.

La tesi che si intende sostenere è che la determinazione della posizione azimutale del Sole all’orizzonte non avrebbe potuto costituire un metodo efficace a causa di alcune criticità:

il problema del profilo dell’orizzonte geografico (influenzato da montagne, colline, edifici o altri ostacoli naturali e artificiali) differente dall’orizzonte astronomico;

il problema della rifrazione atmosferica che causa un consistente errore di azimut proprio all’orizzonte.    

Il fenomeno della rifrazione con il suo influsso sull’osservazione degli astri era ben noto nel medioevo:

“[…] solo nel secolo III d. C., Cleomede e Tolomeo riconobbero nella variazione apparente delle longitudini degli astri presso l’orizzonte l’entità e le principali caratteristiche del fenomeno della rifrazione.

Un ulteriore progresso si ebbe per merito degli astronomi arabi, in ispecie di Ibn al-Haitham (Alhazen, 965-1039), che primo attribuì alla rifrazione atmosferica la causa dello schiacciamento apparente dei dischi del Sole e della Luna presso l’orizzonte, la variazione delle distanze polari delle stelle e infine il fenomeno della scintillazione.” ^[8]

Una geometria basata sulle ombre gnomoniche, che disegnano sul terreno iperboli i cui vertici, durante i solstizi, misurano la minima e la massima distanza dall’asta gnomonica e formano una retta perfettamente orientata Est-Ovest all’equinozio, rappresenta lo strumento più pratico e preciso per ricostruire geometricamente, con riga e compasso, una figura nota come analemma di Vitruvio, utilizzata nel mondo antico nella costruzione delle meridiane:

“A partire dalle lunghezze delle ombre equinoziali, vengono disegnati gli analemmi per mezzo dei quali si disegnano i grafici delle ore, secondo le particolarità del luogo e dell’ombra dello gnomone. L’analemma è la legge che nasce dal corso del Sole, trovata osservando l’ombra che si allunga fino al solstizio invernale e, a cominciare da questa osservazione, attraverso i procedimenti dell’architettura e i disegni fatti con il compasso, si è scoperto l’effetto del Sole sul mondo.” ^[9] [Fig.05]

Fig. 05 Rappresentazione grafica dell’analemma di Vitruvio ricostruito da CESARIANO, Cesare Di Lorenzo traduttore e illustratore del De Architectura, Libri X, edito da Gottardo Da Ponte, nel 1521.

 

Per Vitruvio la geometria dell’analemma non era soltanto un metodo grafico-geometrico per disegnare orologi solari ma uno strumento fondamentale per un architetto, poiché la gnomonica era considerata una disciplina necessaria ed essenziale, intimamente connaturata all’architettura: “Le parti dell’architettura sono tre: aedificatio, gnomonica, e machinatio.” ^[10]

 

Ipotesi di calcolo basato sull’analemma di Vitruvio 

Quando un’asta verticale (gnomone) proietta un’ombra perfettamente rettilinea lungo la direzione Est-Ovest geografica, significa che il Sole si trova in corrispondenza di un equinozio. Gli equinozi si verificano due volte l’anno, in primavera e in autunno, e solo in quei giorni i raggi solari, essendo perpendicolari al piano dell’equatore terrestre, formano al mezzogiorno solare un angolo pari alla latitudine del luogo. [Fig.06]

Fig. 06 Il disegno delle ombre gnomoniche nei giorni di transizione stagionale.

 

Per un architetto del XIII sec. sarebbe stato sufficiente misurare la distanza g_eq, determinata dal passaggio dell’ombra equinoziale sulla linea meridiana (eq), per ricavare graficamente l’angolo di latitudine (l) del luogo [Fig. 07] oppure avrebbe potuto utilizzare uno strumento di misurazione, come per esempio il quadrato delle ombre, per determinarlo direttamente.^[11] 

 Fig. 07 Determinazione dell’angolo di latitudine, attraverso l’ombra gnomonica all’equinozio.

 

Ottenuto l’angolo della latitudine l, che a Castel del Monte risulta 41.08448°, ed essendo nota l’altezza dell’asta gnomonica g0, è possibile costruire il triangolo rettangolo 0g1, in cui 01 coincide con l’asse celeste e 1g con la linea meridiana [Fig.07]. Questo triangolo è alla base della costruzione geometrica dell’analemma di Vitruvio.

Collegando il vertice 0 dell’asta gnomonica della figura 07 ai 3 punti individuati sulla linea meridiana, corrispondenti al solstizio estivo se, al solstizio invernale si e all’equinozio eq, si determina l’obliquità dell’eclittica, definita dell’angolo ±e. [Fig.08]

L’oscillazione stagionale del Sole tra inverno ed estate è infatti simmetrica rispetto all’equinozio, poiché il moto apparente del Sole lungo l’eclittica segue una traiettoria bilanciata rispetto all’equatore celeste.

 

Fig. 08 Il disegno dell’Analemma di Vitruvio costruito sulla base delle ombre gnomoniche misurate nei giorni di transizione stagionale.

 

L’ampiezza dell’oscillazione stagionale dell’angolo di obliquità dell’eclittica, e quindi dell’asse terrestre, non è costante, ma subisce lievi variazioni. Nel lungo periodo di circa 41.000 anni, l’inclinazione dell’asse oscilla tra 22,1° e 24,5°. Utilizzando modelli matematici avanzati, è possibile stimare un valore accurato di obliquità, che per il 1240 risulta pari a 23.5392°(e), valore impiegato per ricostruire la geometria dell’analemma di Vitruvio, mentre il valore attuale risulta 23.4385°. [Fig.09]

 

Fig. 09 Rappresentazione grafica delle variazioni di obliquità dell’eclittica con l’individuazione, all’interno dell’ampio ciclo di 41000 anni, dell’inclinazione attuale e nel 1240.   

 

Proseguendo nella costruzione dell’analemma di Vitruvio, come nella figura 10 si traccia, puntando in 0, una circonferenza S (Sud), Z (Zenit), N (Nord), corrispondente al meridiano celeste. Collegando i punti Se, Eq, Si con 0 (vertice dello gnomone), si individuano sulla circonferenza del meridiano celeste i punti Se¹, Eq¹, Si¹, corrispondenti alla posizione del sole nel cielo ai solstizi e all’equinozio.

Fig. 10 Costruzione dell’analemma di Vitruvio con determinazione geometrica dell’amplitudine.

 

Tracciando dal punto Se¹ una retta perpendicolare all’asse celeste, corrispondente al tropico del cancro e parallela all’equatore, si individua il punto Se² intersecando l’asse N_S. Questo punto, proiettato parallelamente all’asse dello gnomone, determina il punto A intersecando la circonferenza del meridiano celeste. Quest’ultimo punto corrisponde alla posizione più estrema del Sole al solstizio, definita dall’angolo A0g, chiamato amplitudine. [Fig.11]

Il rettangolo rappresentato nella figura 11, inscritto nella circonferenza dell’orizzonte celeste e geometricamente ricavato dall’angolo di amplitudine pari a 31.9961°, costituisce il quadrilatero solstiziale ricercato per la località di Castel del Monte. Tale rettangolo risulta avere una proporzione pari a 1.600577.

Fig. 11 Le proporzioni del quadrilatero solstiziale secondo la costruzione dell’analemma di Vitruvio ricavato dalle ombre gnomoniche osservate a Castel del Monte.

 

Confrontando i dati raccolti nella seguente tabella sinottica, risulta evidente la vicinanza dei valori di amplitudine calcolati da Zick con quelli ottenuti tramite il planetario virtuale Stellarium®, nella modalità “atmosfera”, che considera la posizione apparente degli astri dovuta alla rifrazione, particolarmente evidente all’orizzonte.

Analogamente, si osserva una corrispondenza tra i valori di amplitudine ottenuti attraverso la costruzione grafica dell’analemma di Vitruvio e quelli calcolati con Stellarium® nella modalità che esclude la rifrazione atmosferica.

 

Il rettangolo aureo solstiziale e il tracciato planimetrico di Castel del Monte

Rappresentando i dati attraverso un diagramma a barre, il rettangolo solstiziale, determinato mediante l’analisi delle ombre gnomoniche, pur non rispettando il rapporto aureo, risulta significativamente più coerente con le affermazioni di Tavolaro rispetto ai valori calcolati da Zick, il quale ha adottato un metodo basato sull’osservazione diretta del fenomeno.

Tavolaro, nella descrizione del suo computo, non specifica con chiarezza né l’anno né il metodo utilizzato; tuttavia, l’analemma di Vitruvio è ampiamente citato e rappresentato nei suoi scritti, sebbene venga descritto esclusivamente in relazione al disegno della sezione del Castello e non al quadrilatero solstiziale inteso come figura ordinatrice del tracciato planimetrico.

Se, come scrive Tavolaro, l’amplitudine risulta effettivamente di circa 32°, per sostenere una coincidenza con il rettangolo aureo, si sarebbe dovuto trovare un angolo di amplitudine inferiore, pari a 31.7175°.

Appurata una proporzione più attendibile del quadrilatero solstiziale, resta da verificare la sua corrispondenza con i dati geometrici del Castello, utilizzando a tal fine la planimetria del modello numerico, ottenuta attraverso procedure di regressione geometrica applicate al rilievo statistico.

Seguendo le indicazioni di Tavolaro, si collegano i punti di innesto dei BASAMENTI dei Torrioni con la MURATURA esterna, ottenendo il rettangolo abcd rappresentato in campitura grigia nella Figura 12. 

Fig. 12 Individuazione del rettangolo abcd formato dall’unione dei punti d’innesto dei BASAMENTI con la MURATURA esterna, confrontato con il rettangolo solstiziale, calcolato nell’anno 1240, e con un rettangolo aureo, uniformati secondo il lato corto ab.     

 

Considerando il lato corto ab di 21.8056 metri, come base unitaria, si sovrappongono al rettangolo derivato dal Modello NUMERICO sia il rettangolo solstiziale (calcolato con l’analemma di Vitruvio nell’anno 1240), che un rettangolo aureo in modo da poter operare un confronto numerico sia delle proporzioni che degli scarti dimensionali.

I diagrammi riportati nella figura VI-39, ai quali si è voluto aggiungere il calcolo di Zick, illustrano le misurazioni degli scarti calcolati in centimetri fra le proporzioni dedotte dal Modello NUMERICO del Castello con gli altri rettangoli:

·        il rettangolo AUREO presenta uno scarto di 18.462 cm

·        il quadrilatero SOLSTIZIALE calcolato con l’analemma di Vitruvio, presenta uno scarto di ben 58.120 cm

Fig. 13 Confronto grafico di tutte le proporzioni rettangolari coinvolte. 

 

Se il valore degli scarti mostra una rappresentazione più concreta della realtà architettonica –intesa come il rettangolo teorico, ricavato dal rilievo statistico e successivamente geometrizzato mediante metodi numerici, che descrive gli innesti del BASAMENTO dei Torrioni nella MURATURA esterna– i rapporti di proporzionalità tra i lati dei rettangoli analizzati, illustrati nel grafico della Figura 13, evidenziano chiaramente come il rettangolo aureo ipotizzato da Tavolaro si avvicini al rettangolo numerico di Castel del Monte e presenti una notevole affinità con il quadrilatero solstiziale, calcolato mediante il metodo dell’analemma di Vitruvio.

In conclusione, l’ipotesi aureo-solare di Tavolaro, pur essendo condizionata da pregiudizi cosmico-esoterici, appare molto più affine sia alla realtà astronomica sia a quella architettonica.

 

La costruzione della pianta di Castel del Monte

Tavolaro, similmente al Götze, descrive il processo di costruzione geometrica dello schema planimetrico del Castello come un’operazione di tracciamento sul terreno, e come il Götze presuppone erroneamente lo spianamento della cima del monte: “Immaginiamo di essere noi i costruttori del castello, i ‘protomagistri’ del medioevo, e di trovarci sul cantiere dei lavori dove ora sorge Castel del Monte e di disporre del pianoro su cui lavorare.” ^[12]  

Sul pianoro si tracciano 4 rettangoli in rapporto aureo disposti “in croce in modo da ottenere una croce greca ed una croce di S. Andrea sovrapposte fra loro” ^[13]

Attraverso la formazione di un ottagono interno ed esterno, generato dall’intreccio dei rettangoli, Tavolaro ritiene di poter individuare le pareti delle sale interne. Si tratta di una ipotesi interessante, che richiede uno specifico approfondimento che tuttavia non si ritiene determinante per la costruzione del tracciato delle cortine esterne, che delimitano i volumi principali.

L’intreccio dei lati corti dei rettangoli aurei, all’esterno della composizione, unendo i vertici, come per esempio c,a,b formano i 2 lati interni dei basamenti dei torrioni.

“Nel contempo risulta determinato lo spessore del muro esterno che incorpora, come si evince dal disegno, due lati della torre.“ ^[14] Infatti collegando tutti i vertici corrispondenti a ‘b‘ e a ‘c‘ dei basamenti degli otto torrioni, si ottiene la cortina muraria esterna.      

 

Il passaggio successivo non è descritto in modo particolarmente chiaro da Tavolaro:

“In tal modo le torri del castello (comprensive degli zoccoli) scaturiscono dai soli perimetri del cortile e delle sale […]” ^[15] Tuttavia, i disegni che accompagnano il testo illustrano perfettamente il procedimento e i rapporti geometrici, consentendo una ricostruzione dettagliata del procedimento.

 

La costruzione del tracciato geometrico di Castel del Monte secondo le indicazioni di Tavolaro dipende quindi da 3 fattori:

·        il rettangolo aureo, strettamente correlato al quadrilatero solstiziale;

·        la relazione geometrica fra basamenti e rettangolo aureo;

·        la relazione geometrica fra la corte ottagona interna e il centro dei torrioni.  

 

 

Il modello geometrico di Tavolaro

Si tratta di una costruzione il cui schema si origina dalla rotazione, ad intervalli di 45°, di 4 rettangoli aurei. Dall’intreccio geometrico risultante si ricavano gli 8 BASAMENTI dei Torrioni, dai cui vertici è possibile tracciare la MURATURA. Seguendo poi un principio simile alla costruzione di Götze, unendo i centri dei Torrioni si genera la CORTE ottagona centrale. 

A differenza di altri studiosi, Tavolaro considera i BASAMENTI come elementi determinanti della sua interpretazione costruttiva, anziché le TORRI.  

Tuttavia, è più plausibile ritenere che tale scelta sia stata ispirata più dall’esigenza di ottenere una coerenza geometrica fra la planimetria e le proporzioni del rettangolo aureo, piuttosto che da una effettiva consapevolezza del ruolo strutturale del BASAMENTO in relazione al tracciato generatore.

Fig. 14 Modello geometrico 6, di Tavolaro, basato sul rettangolo aureo come figura ordinatrice.

 

La formulazione algebrica del Modello

Le formule espresse in termini di raggio del BASAMENTO (rB) con funzioni goniometriche, sono le seguenti: