Fig. 1  Ricostruzione fedele della dimostrazione geometrica di Tavolaro eseguita sul disegno del portale Maggiore di Castel del Monte, pubblicato da Chierici nel 1934.

 

Nella prassi di ogni normale metodologia scientifica è infatti prima di tutto necessario raccogliere i dati e solo successivamente elaborarli ed interpretarli. Questa è l’unica via per poter trarre delle conclusioni attendibili. “È un errore capitale teorizzare prima di avere informazioni. Inconsapevolmente si inizia a distorcere i fatti per adattarli alle teorie, invece di adattare le teorie ai fatti.”^[6]

Troppo spesso questa distorsione della realtà o il desiderio di affermare idee preconcette si è abbattuta su Castel del Monte. Per evitare di cadere in tale errore e per poter verificare le teorie già note era necessario acquisire tutte le informazioni necessarie che in questo caso sono principalmente rappresentate dai dati metrici tridimensionali del castello.       

Nel 2018, il Polo Museale della Puglia, del Ministero dei beni culturali e del turismo, avviò un ambizioso progetto per valorizzare Castel del Monte, che includeva la digitalizzazione completa del sito. Una nuova campagna di rilevamento LiDAR, utilizzando nuvole di punti colorati (RGB), permise di mappare l’intera infrastruttura tecnologica storica del castello. Grazie a questi dati, è stato possibile ricostruire il monumento nella sua complessità ed avviare un programma di ricerca geometrico-compositiva sotto la direzione dell’autore, con il supporto matematico del Prof. Lorenzo Roi.

Alla base di questa ricerca si è reso necessario concepire una innovativa metodologia scevra da interpretazioni soggettive e che fosse in grado di tradurre la massa di dati complessi, acquisiti digitalmente, in forme geometriche capaci di sintetizzare correttamente le volumetrie architettoniche.

Questo processo di sintesi geometrica inversa, il cui fondamento teorico risiede nelle tecniche matematiche di regressione o metodo dei minimi quadrati utilizzato anche come tecnica di interpolazione statistica applicato all’architettura, viene definito reverse architecture mutuando il termine dal reverse engineering ma con una connotazione più attenta agli aspetti geometrici, morfologici e compositivi che a quelli strutturali, meccanici e tecnologico-funzionali.

Con i nuovi dati di rilevamento LiDAR e questa nuova metodologia si sottopone ad analisi il portale maggiore di Castel del Monte.

 

2. La verifica della tesi di Tavolaro

Si utilizza come base il nuovo rilevamento LiDAR al posto del disegno del Chierici del 1934. Sezionata e orientata la porzione di nuvole di punti che costituiscono il prospetto Est in cui si apre il portale maggiore, si estrae un’ortofoto in falsi colori per esaltarne esclusivamente le geometrie e il modellato.

A questo punto, si ripercorrono le istruzioni di Tavolaro tracciando un pentagono avente come base la soglia di ingresso e come limite superiore il vertice del timpano (punto e), che si fa coincidere con la punta della stella pentagonale formata dall’intersezione delle diagonali [Fig.2].

Su questa base geometrica eseguiamo una verifica delle coincidenze:

i vertici di base del pentagono o le punte inferiori della stella non coincidono con l’asse di mezzaria delle lesene, l’errore risulta di 11.52 cm; 

1. i fusti scanalati delle lesene, nel punto in cui inizia il capitello, non si “arrestano” in coincidenza del “lato orizzontale del pentacolo”, l’errore risulta di 16.45 cm;

2. determinando geometricamente la sezione aurea del segmento ab, si individua il punto c che non è coincidente con lo “stipite della porta”, l’errore risulta di 7.36 cm;

3. determinando geometricamente la sezione aurea del segmento ac, si individua il punto d che non è coincidente con la “cornice della porta”, l’errore risulta di 10.25 cm.

 

Volendo fare una sintesi, i risultati ottenuti mostrano errori di coincidenza macroscopici anche se valutati ad una scala architettonica, che smentiscono l’ipotesi di uno schema pentagonale generatore alla base del disegno del portale maggiore di Castel del Monte.

Paradossalmente, se si vuole proprio ricercare una coincidenza geometrica fra il pentagono tracciato da Tavolaro e il monumento, la si può individuare nella coincidenza fra la dimensione della diagonale del pentagono (linea orizzontale del pentagramma) e lo spazio fra le torri che fiancheggiano il portale maggiore. Questa coincidenza, però, egli non la individuò mai, perché eseguì il suo studio esclusivamente sul prospetto del Chierici, nel quale le torri non sono riprodotte.           

 

Fig. 2 Verifica della tesi di Tavolaro eseguita su dati di rilievo LiDAR del portale Maggiore di Castel del Monte. (progetto di digitalizzazione larderArch, rilievo laser-scanner DIGITARCA 2020).

 

3. La verifica dimensionale del timpano

La costruzione geometrica di Tavolaro parte dal presupposto essenziale che l’angolo superiore del timpano, incorniciato da una modanatura equiparabile al geison dell’architettura classica, si approssimi a 108°, ossia l’angolo interno che caratterizza il pentagono.

Per verificare questa ipotesi si sono svolte due verifiche parallele:

£ la prima verifica è stata eseguita direttamente sul modello a nuvola di punti tridimensionale del frontone, applicando le citate metodologie del reverse architecture che si avvalgono di sofisticati strumenti di regressione matematica [Fig.3];

£ la seconda verifica è stata condotta operando direttamente su un’ortofoto ad alta risoluzione, estratta dalla nuvola di punti orientata del prospetto est, in cui si apre il portale maggiore [Fig. 4].

 

Fig. 3 Operazione di reverse architecture della geometria del timpano del portale maggiore eseguita attraverso regressione numerica di punti tridimensionali campionati dal rilievo.

 

Fig. 4 Analisi della geometria del timpano del portale maggiore eseguita su ortofoto LiDAR orientata.

 

Entrambi i metodi hanno rilevato che l’angolo coincidente con il vertice superiore del timpano risulta prossimo a 106° e non a 108°.

Tutte le coincidenze geometriche proposte da Tavolaro, come modello geometrico generativo del disegno del portale maggiore di Castel del Monte, sono risultate false, così come è falsa l’ipotesi iniziale che il triangolo del timpano, e conseguentemente le modanature del frontone, corrispondano fedelmente all’angolo interno dei lati di un pentagono regolare.

 

3. Le proporzioni del timpano

A questo punto è comunque lecito porsi una domanda sul triangolo del timpano: se non ricalca la geometria del pentagono, deriva da qualche altra proporzione geometrica o matematica, oppure si tratta di una forma arbitraria, forse soltanto decifrabile con la conoscenza dell’originale sistema di misurazione?

Le importanti rivelazioni eseguite per mezzo di rigorose procedure di elaborazione matematica in relazione all’esistenza di un sofisticato schema geometrico di circonferenze tangenti, che sarebbe alla base dell’intero tracciato planimetrico di Castel del Monte^[7], suggeriscono un nuovo percorso di ricerca basato sul perfetto impacchettamento di circonferenze centrate nei tre vertici del triangolo rettangolo che identifica la metà del timpano.

 

Fig. 5 Tracciamento delle tre circonferenze tangenti centrate nei vertici del triangolo rettangolo a, b, c del timpano.

 

 

Con le dimensioni evidenziate in figura 5, questa configurazione di perfetta tangenza si ottiene solamente con le tre circonferenze rappresentate. Analizzando le proporzioni esistenti fra loro e quindi fra le dimensioni dei raggi, questi si scoprono essere in perfetta progressione aritmetica: 1, 2, 3.

Tracciando un nuovo disegno utilizzando valori unitari, quindi dimenticando momentaneamente le dimensioni reali, si ridisegna il triangolo posizionando nel vertice a il cerchio con raggio 2, nel vertice b il cerchio con raggio 1 e nel vertice c il cerchio col raggio 3 [Fig.6]. 

Fig. 6 Tracciamento delle tre circonferenze tangenti unitarie centrate nei vertici del triangolo rettangolo a, b, c.

 

Dalla semplice somma dei raggi si ricavano le dimensioni dei lati:

·        lato ac (ipotenusa) 2+3=5

·        lato ab (cateto) 2+1=3

·        lato bc (cateto) 1+3=4

 

Sorprendentemente, il triangolo rettangolo risultante interpreta la prima terna pitagorica primitiva, la più semplice, composta dai numeri 3, 4, 5.

Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa. Le terne pitagoriche soddisfano pienamente questa relazione generale, caratterizzandosi per la particolarità di avere tutti i termini espressi da numeri interi positivi [Fig.7].  

Fig. 7  Rappresentazione grafica del teorema di Pitagora e sua equazione.

 

Appare qui interessante riportare un estratto del IX Libro del DE ARCHITECTURA” di Vitruvio che descrive minuziosamente l’utilizzo pratico del teorema di Pitagora:

“Anche Pitagora ha dimostrato come si trova l’angolo retto senza artifici tecnici per cui, quello che con grande fatica gli artigiani fanno gli squadri, e che a mala pena si avvicina alla verità, viene realizzato alla perfezione seguendo i ragionamenti e il metodo derivati dai suoi insegnamenti. Si prendono tre asticelle, una lunga tre piedi, una quattro e una cinque e si compongono tra loro in modo che gli estremi di una tocchino gli estremi delle altre due a formare la figura di un triangolo; queste formano un angolo retto perfetto. Disegnando un quadrato su ciascuna delle lunghezze delle singole asticelle, se il lato è di tre piedi, l’area del quadrato sarà di nove piedi, se il lato è di quattro piedi, l’area sarà di sedici, se il lato è di cinque piedi, l’area sarà di venticinque piedi. Quanto sarà il numero di piedi di area misurati dai due quadrati rispettivamente di lato tre e quattro, altrettanto misurerà l’area del quadrato di lato cinque. Si racconta che Pitagora per aver scoperto ciò, poiché non dubitava di essere stato ispirato dalle Muse, abbia offerto loro sacrifici per esprimere la sua immensa gratitudine.”[8]

 

4. La verifica dei risultati

Per poter considerare questa nuova ipotesi è necessario effettuare una verifica confrontando tutti i dati.

Il grafico a barre della figura 8, rappresenta i dati angolari del vertice acuto “c” di rilievo (in colore grigio), della relativa media algebrica (in colore verde), dell’angolo generato da un pentagono regolare, secondo la tesi di Tavolaro (in colore azzurro) e infine l’angolo generato utilizzando la terna pitagorica 3,4,5 (in colore rosso).

Confrontando i dati in termine di errore sulla base del valore medio di rilievo pari a 36,94°, l’angolazione della terna pitagorica pari a 36,86° si discosta con un errore di soli 0,07° mentre l’angolazione del pentagono regolare pari a 36,00°, si discosta con un errore di 0,94°.

Fig. 8  Confronto grafico tra le angolazioni α e β misurate nel timpano e due angoli teorici di riferimento (angolo pentagonale e angolo derivante da una terna pitagorica), con evidenza grafica e numerica degli scarti rispetto alla media rilevata.

 

5. Le conclusioni

I dati, confermano che le proporzioni del timpano del portale maggiore di Castel del Monte altro non è che un perfetto triangolo pitagorico.

Tuttavia, i risultati ottenuti non appaiono esaurirsi, ulteriori coincidenze geometriche indicano la possibilità di sviluppi aggiuntivi.

A questo proposito, si ipotizza di tracciare un triangolo rettangolo con le proporzioni (3,4,5) la cui altezza si sviluppa fra la trabeazione e il vertice superiore del timpano si ottiene il disegno della figura 8.

 

Generando una circonferenza che passa per i vertici del triangolo pitagorico (il colore rosso) [Fig.9], si estendono dai punti del quadrante circolare 3 rette ortogonali:

£  da q’, la retta verticale ricalca l’asse dell’apertura della bifora e tangente al suo rosone;

£ da q”, la retta orizzontale traccia con precisione l’appoggio dei capitelli delle lesene e il punto di inizio della trabeazione;

£ da q”’, la retta verticale definisce precisamente la larghezza del corpo del frontone e la larghezza massima della lesena all’abaco e al plinto.    

 

Questo studio dimostra che facendosi condurre dai fatti, che in questo caso sono rappresentati dai dati, si rivelano teorie inaspettate che Castel del Monte è ancora capace di offrire.  

Sorvolando sulle molteplici speculazioni esoteriche che si possono scrivere attorno a questo nuovo risultato, sono innegabili le implicazioni suggerite dall’ostentazione, proprio nel frontone del portale maggiore del castello, di un simbolo universalmente noto di perfezione numerica e sintesi geometrica.

L’uso del triangolo pitagorico nel contesto architettonico di Castel del Monte può essere interpretato sia come esaltazione di uno strumento di proporzione e misura —espressione della scienza pitagorica— sia come simbolo arcano e spirituale, carico di significati cosmologici e metafisici, le cui radici affondano nei miti e nella teologia misterica egizia, trasmessi in Occidente soprattutto attraverso l’opera di Plutarco. Sommo filosofo platonico, insignito anche di una carica onorifica dall’imperatore Traiano, “è stato uno dei due sacerdoti delfici e proprio durante il suo sacerdozio presso il santuario di Apollo, intorno all’anno 100, ha composto il De Iside, un’opera che costituisce una preziosa testimonianza delle dottrine religiose del mondo ellenistico, emblematica espressione di quel matrimonio spirituale tra Grecia e l’Egitto che ha conosciuto l’età ellenistica.”[9] 

Plutarco nel De Iside, capitolo 56.373F-374B, adatta la triade osirica allo schema triangolare platonico basato sulla terna Pitagorica:

“La migliore e più divina natura consiste di tre parti: l’intelligibile, la materia e il risultato di entrambi, che gli Elleni chiamano cosmo. Orbene, Platone fu solito chiamare la parte intelligibile col nome di idea o modello esemplare o anche ‘padre’; la parte materiale col nome di ‘madre’ e ‘nutrice’ e anche ‘sede’ e  ‘posto’ di generazione; e il risultato di entrambi ‘prole’ e generazione. Si potrebbe congetturare che gli Egizi abbiano nel più alto onore il più bello dei triangoli, poiché essi gli fanno assomigliare la natura dell’universo, come Platone, nella Repubblica, sembra averne fatto uso nel formulare graficamente il concetto delle nozze. Questo triangolo ha la sua altezza di tre unità; la sua base di quattro e l’ipotenusa di cinque, la cui potenza è eguale a quella degli altri due lati che lo abbracciano. L’altezza, allora, può essere assomigliata al maschio, la base alla femmina, e l’ipotenusa al figlio di entrambi; cosi Osiride può esser riguardato come l’origine, Iside come il ricettacolo, Horos come il risultato perfetto”[10].

Questa visione triadica —matematicamente espressa nel triangolo pitagorico 3:4:5— lega indissolubilmente il numero, la geometria e il mito. In tale chiave, l’ostentazione di perfetti triangoli pitagorici collocati nel timpano del portale maggiore di Castel del Monte può essere intesa non solo come citazione matematica, ma come richiamo a un’antica cosmologia in cui forma, misura e spirito concorrono all’ordine dell’universo.

 

Fig. 9 Il timpano del portale maggiore costruito secondo le proporzioni della prima terna pitagorica su ricomposizione ricostruttiva eseguita con metodi di reverse architecture (larderArch 2021).