La GEOMETRIA di CASTEL del MONTE
Un trattato sulla geometria e le proporzioni della morfologia architettonica.
Autore: Federico Lardera
con la collaborazione matematica di Lorenzo Roi
Castel del Monte come architettura castellare non ha riferimenti simili in tutto il Medioevo e nelle diverse culture architettoniche. La sua accertata singolarità lo ha fatto assurgere a monumento simbolo del disegno politico e culturale di Federico II e, per gli inestimabili valori universali di cui è portatore, Castel del Monte è stato inserito nel 1996 nella lista del Patrimonio Mondiale UNESCO.
La miglior sintesi fu scritta, in poche e dense righe, da Giulio Carlo Argan nel primo volume della “Storia dell’arte italiana” edito da Sansoni nel 1968: “Rigorosamente come in un teorema matematico, si sviluppa, l’ottagono di Castel del Monte[…]”
Fig.1 Modello 3d di Castel del Monte, larderArch.
Questa singolare inflorescenza geometrica dal fascino magnetico, basata sull’ottagono, che ha sedotto generazioni di architetti e storici dell’arte, non ha ancora una spiegazione in termini geometrico-compositivi: si tratta di una semplice giustapposizione simmetrica di ambienti funzionali, oppure si cela una legge matematica che li connette in un unico teorema come presagiva Argan?
Gli unici autori che hanno affrontato in modo sistematico il tema delle relazioni proporzionali alla base della morfologia architettonica di Castel del Monte, formulando ipotesi geometriche, si possono individuare nell’archeoastronomo italiano Aldo Tavolaro —autore, nel 1974, del saggio “Elementi di astronomia nell’architettura di Castel del Monte” — e lo storico dell’architettura tedesco Heinz Götze, che nel noto studio pubblicato in Germania nel 1984, poi tradotto in Italia con il titolo “Castel del Monte – Forma e simbologia dell’architettura di Federico II” , analizzò la genesi geometrico-costruttiva dell’edificio, proponendo un modello interpretativo destinato a diventare un punto di riferimento per gli studi successivi.
Tuttavia, né la costruzione aurea di Tavolaro — di natura cosmico-simbolica e fondata su specifici fenomeni astronomici solari — né lo schema geometrico di Götze — incentrato sulla valenza simbolica e magica della stella ottagonale, assunta quale principio ordinatore — possono essere considerati scientificamente fondati, poiché, per quanto suggestivi e ormai consolidati, non si basano su un’analisi rigorosa dei dati geometrici effettivi dell’edificio federiciano e non trovano conferma oggettiva in un confronto con la realtà architettonica.
All’inizio del XXI secolo, con la diffusione delle nuove, rivoluzionarie tecniche di rilievo laser-scanner, si erano avvicendate due campagne di rilevamento parziale del complesso monumentale, la prima del 2005 con finalità fondamentalmente di sperimentazione accademica sulle tematiche del rilievo e la seconda del 2009, tecnologicamente più avanzata, fu unicamente finalizzata alla redazione del piano di gestione del sito secondo le disposizioni normative. Nessuno di questi rilievi fu concepito con la finalità di indagine scientifica che aveva contraddistinto e ispirato il lavoro dello Schirmer e, soprattutto, nessuna delle recenti campagne di rilievo si erano occupate degli aspetti decorativi ed ornamentali, che solo lo storico rilievo del Chierici del 1934, aveva sensibilizzato.
Emerse sin dal principio la necessità di ripensare integralmente l’intero processo di rilievo del castello, impostandolo ex novo secondo una metodologia autonoma e sotto il nostro diretto controllo. L’obiettivo, tanto ambizioso quanto inedito, era quello di procedere alla digitalizzazione integrale del monumento, con una risoluzione millimetrica e un’attenzione specifica — anch’essa inedita — rivolta agli apparati decorativi.”[1].
Fig.2 Esempio di digitalizzazione e restituzione di particolari decorativi e scultorei, del portale di Castel del Monte, ricostruiti attraverso tecniche di anastilosi e di restauro digitale.
Su incarico dell’allora Polo Museale della Puglia, dipendente dal Ministero dei beni culturali e del turismo, fu avviato un ambizioso progetto di valorizzazione del sito che comprendeva, fra molti obiettivi, la digitalizzazione integrale del castello.
La nuova ed estesa campagna di rilevamento LiDAR[2], a nuvole di punti colorati (RGB), avrebbe per la prima volta riguardato e svelato l’intera impiantistica tecnologica storica di Castel del Monte contraddistinta da cisterne pensili, condotti fognari, canali di scolo, canne fumarie, la grande cisterna ipogea, tutti i bagni, i camerini e l’intera rete di distribuzione scalare.
Fig.3 Rilievo di Castel del Monte a nuvole di punti RGB, sezione. Campagna del 2020[3].
Con la disponibilità di una straordinaria e inedita massa di dati, fu possibile assemblare l’intero monumento in tutta la sua complessità, avviando, anche un esteso programma di ricerca finalizzata all’analisi geometrico-compositiva dell’edificio, con il fondamentale supporto di calcolo, analisi e programmazione matematica del prof. Lorenzo Roi, già docente liceale di matematica e fisica, particolarmente interessato alle nuove tecnologie ed autore di diverse pubblicazioni in ambito didattico.
Il risultato di questa ricerca durata circa 4 anni, ha prodotto una completa trattazione, in corso di pubblicazione, sulla geometria e le proporzioni dell’enigmatica morfologia architettonica di Castel del Monte di cui questo abstract rappresenta soltanto una sintetica e divulgativa anticipazione dei temi trattati e soltanto alcuni dei significativi risultati raggiunti.
[1] Nel 2020 è stata digitalizzata con la tecnica della fotogrammetria digitale tridimensionale (Structure from Motion) una selezione di 80 apparati decorativi fra i più significativi di Castel del Monte.
[2] LiDAR, acronimo dall’inglese Laser Imaging Detection And Ranging è una tecnica di telerilevamento che permette di determinare la distanza di un oggetto o di una superficie utilizzando un impulso luminoso (laser).
[3] Rilevamento LiDAR eseguito da DIGITARCA, elaborazione ed assemblaggio del modello globale a nuvola di punti curato e diretto da larderArch.
Realizzazione: larderArch©Il TEOREMA MATEMATICO di CASTEL del MONTE
Castel del Monte come architettura castellare non ha riferimenti simili in tutto il medioevo e nelle diverse culture architettoniche.
La sua accertata singolarità lo ha fatto assurgere a monumento simbolo del disegno politico e culturale di Federico II e, per gli inestimabili valori universali di cui è portatore, Castel del Monte è stato inserito nel 1996 nella lista del Patrimonio Mondiale UNESCO.
La miglior sintesi fu scritta, in poche e dense righe, da Giulio Carlo Argan nel primo volume della “Storia dell’arte italiana” edito da Sansoni nel 1968: “Rigorosamente come in un teorema matematico, si sviluppa, l’ottagono di Castel del Monte[…]”
Questa singolare inflorescenza geometrica dal fascino magnetico, basata sull’ottagono, che ha sedotto generazioni di architetti e storici dell’arte, non ha ancora una spiegazione in termini geometrico-compositivi: si tratta di una semplice giustapposizione simmetrica di ambienti funzionali, oppure si cela una legge matematica che li connette in un unico teorema come presagiva Argan?
Basandoci su un dettagliato ed avanzato rilievo tridimensionale, con il supporto di una sofisticata strumentazione di analisi matematica e la volontà di seguire un rigoroso metodo scientifico in virtuosa combinazione con una serie di intuizioni geometriche, riteniamo di aver individuato una serie di schemi geometrici inediti che raccontano di Castel del Monte una versione completamente nuova.
Le analisi conclusive sulla geometria di Castel del Monte, compreso il problema del metodo di tracciamento -una volta pubblicate- confuteranno con un esteso confronto critico, mai affrontato prima d’ora, molte delle conclusioni di Schirmer ormai ampiamente diffuse, condivise e radicate e, conseguentemente, anche lo schema geometrico del Götze.
Gli storici avranno a disposizione un nuovo strumento di lettura che ci auguriamo possa stimolare una diversa consapevolezza della cultura degli architetti del medioevo e delle loro capacità tecniche, di cui sappiamo ben poco per la natura segreta ed iniziatica propria del mestiere in quel tempo, ma che riteniamo di poter ancora riuscire a leggere attraverso le loro pietre.
larderArch©L’ENIGMA GEOMETRICO di CASTEL del MONTE.
Castel del Monte rappresenta uno dei più enigmatici esempi di architettura medievale, oggetto di numerosi tentativi interpretativi volti a individuare le regole geometriche sottese al suo tracciato planimetrico. La letteratura esistente si concentra prevalentemente su due filoni principali: lo schema basato sulla stella ottagona di Heinz Götze e l’impianto aureo-solare di Aldo Tavolaro, entrambi tuttavia distanti dai dati metrici rilevati con laser-scanner di ultima generazione. Attraverso un approccio innovativo, fondato sulla digitalizzazione delle misure e su algoritmi di minimizzazione, è stato individuato un modello geometrico inedito: un impianto rosoniforme costituito da 16 circoli tangenti disposti in tre corone concentriche, derivati dai basamenti dei torrioni. Il confronto con i rilievi dimostra scarti inferiori a 1 cm per la corte centrale e a meno di 3 cm per la muratura esterna, suggerendo una stretta corrispondenza con il tracciato originario. Questo risultato, verificato mediante un sistema analitico di classificazione basato su formulazioni algebriche, consente non solo di valutare criticamente le ipotesi storiche, ma anche di comparare e testare ogni possibile configurazione geometrica del monumento.
larderArch©NUOVA IPOTESI GEOMETRICA per il TRACCIATO PLANIMETRICO di CASTEL del MONTE. Il modello rosoniforme.
Il progetto di digitalizzazione integrale di Castel del Monte, incaricato dal Ministero dei Beni Culturali e realizzato attraverso rilievi LiDAR ad altissima precisione, ha condotto allo sviluppo di una nuova metodologia di indagine denominata reverse architecture, derivata concettualmente dal reverse engineering.
Dall’analisi dei rilievi digitali è emersa con chiarezza la centralità del BASAMENTO ottagonale, vero modulo generatore dell’impianto planimetrico. La scoperta di una corona di sedici cerchi tangenti – alternanza di torrioni e spazi vuoti – ha rivelato una struttura proporzionale rigorosa, capace di determinare l’estensione complessiva del monumento. Da questo nucleo prende forma un sistema modulare progressivo che, attraverso riduzione e rotazione successive, genera una figura a carattere rosoniforme, evocativa tanto di dinamiche naturali quanto di elementi fortemente simbolici, come il rosone tipico dell’architettura chiesastica medievale.
Il confronto con i dati metrici digitali mostra scarti minimi, dell’ordine di pochi millimetri, confermando la plausibilità di un modello geometrico intenzionale alla base del progetto federiciano. L’ipotesi rosoniforme, inedita rispetto alle tradizionali interpretazioni, suggerisce non solo un principio generativo unitario, ma anche un legame profondo tra matematica, architettura e simbolismo, dimostrando un’intenzionalità progettuale di elevata coerenza e armonia, e offrendo una chiave di lettura inedita e oggettivamente verificabile del progetto federiciano.
Castel del Monte si configura così come un paradigma, in cui la precisione geometrica si intreccia con una dimensione culturale e simbolica, aprendo nuove prospettive per la ricerca e la valorizzazione del patrimonio.
Realizzazione: larderArch©La GEOMETRIA del PORTALE di CASTEL del MONTE
Questo contributo analizza le proporzioni geometriche del portale maggiore di Castel del Monte, con l’obiettivo di verificare criticamente l’ipotesi formulata oltre cinquant’anni fa da Aldo Tavolaro. Secondo tale ipotesi, il disegno del portale rifletterebbe le proporzioni auree riconducibili alla geometria pentagonale, in particolare nel triangolo del timpano, che assumerebbe un angolo di 108 gradi, ritenuto simbolo della cosiddetta “divina proporzione”.
Per testare questa teoria, si è adottata una metodologia innovativa basata su rilievi tridimensionali eseguiti mediante tecnologia LiDAR e successivamente rielaborati attraverso tecniche di “reverse architecture”, che hanno permesso la traduzione dei dati metrici in configurazioni geometriche analiticamente verificabili.
L’analisi ha messo in luce divergenze significative rispetto alle corrispondenze geometriche avanzate da Tavolaro. In particolare, è stato accertato che l’angolo superiore del timpano non corrisponde ai 108 gradi ipotizzati, ma si attesta intorno ai 106 gradi. Più in generale, il disegno del portale non rispetta le proporzioni auree pentagonali, né presenta evidenze riconducibili al simbolismo del pentacolo.
Al contrario, l’indagine ha rivelato una corrispondenza coerente con la più nota delle terne pitagoriche primitive (3, 4, 5), offrendo una nuova chiave interpretativa basata su rapporti razionali e costruttivamente verificabili. Questo risultato conferma l’importanza dell’affidabilità e della precisione dei dati di rilievo nella formulazione di ipotesi storiche e geometriche attendibili, e apre a ulteriori prospettive di ricerca sulla configurazione metrica del portale e, più in generale, sull’impianto proporzionale di Castel del Monte.
In conclusione, lo studio dimostra che il disegno del portale maggiore di Castel del Monte manifesta una chiara coerenza con la geometria pitagorica, fondata su proporzioni razionali e costruttivamente verificabili. L’analisi scientifica dei dati metrici tridimensionali, ottenuti mediante rilievo LiDAR, ha infatti escluso la presenza di corrispondenze significative con le proporzioni auree proprie della geometria pentagonale, smentendo così l’ipotesi – avanzata in precedenza – di un impianto simbolico fondato sul pentacolo e sulla “divina proporzione”.
Realizzazione: larderArch©ANALISI del MODELLO PLANIMETRICO STELLARE di CASTEL del MONTE ipotizzato da Heinz Götze
La prima rilettura critica dell’ipotesi geometrica avanzata da Heinz Götze, secondo cui la pianta di Castel del Monte deriverebbe da una costruzione ordinata sulla figura della stella ottagonale. Tale modello, pur affermatosi come paradigma interpretativo tra molti studiosi, si rivela incongruente rispetto ai dati metrici ottenuti dal rilievo scientifico eseguito dall’équipe di Wulf Schirmer tra il 1990 e il 1996. L’analisi mostra come né la teoria cosmico-simbolica di Aldo Tavolaro, né la figura mandalica sostenuta da Götze trovino conferma nel confronto oggettivo con la realtà costruttiva.
Questa ANALISI del MODELLO PLANIMETRICO STELLARE di CASTEL del MONTE si avvale di modelli geometrici ricostruiti digitalmente e confrontati con i dati LiDAR del 2020, rivelando scarti significativi fra lo schema ideale e l’edificio reale, in particolare nella posizione dei centri delle torri e nella geometria della corte. Viene inoltre messo in discussione il presunto “livellamento” della cima del colle, ritenuto necessario da Götze per il tracciamento geometrico. Alla luce delle irregolarità costruttive rilevate, si sostiene che la pianta di Castel del Monte sia il frutto di un’evoluzione progettuale in corso d’opera, anziché l’attuazione di un piano ideale preesistente. La ricerca invita a superare l’adesione acritica ai modelli simbolici del passato e a riconsiderare la genesi del monumento all’interno di un contesto costruttivo più complesso, empirico e dinamico.
Realizzazione: larderArch©ANALISI del MODELLO PLANIMETRICO AUREO-SOLARE di CASTEL del MONTE ipotizzato da Aldo Tavolaro
ANALISI del MODELLO PLANIMETRICO AUREO-SOLARE di CASTEL del MONTE ipotizzato da Aldo Tavolaro
Il documento analizza criticamente l’ipotesi geometrica e astronomica avanzata da Aldo Tavolaro a partire dagli anni ’70 riguardo al tracciato planimetrico di Castel del Monte, monumento federiciano e sito UNESCO. Tavolaro sostiene che la geometria del castello si fondi su un rettangolo aureo, derivato dal cosiddetto “quadrilatero solstiziale”, figura generata dall’osservazione dei punti di levata e tramonto del Sole nei giorni dei solstizi, esclusivamente alla latitudine del castello.
Il documento confronta tale ipotesi con studi critici, in particolare con quelli di W. Zick, i cui calcoli astronomici sembrano smentire le proporzioni auree indicate da Tavolaro. Tuttavia, lo studio rivaluta le affermazioni di Tavolaro attraverso un’analisi basata sull’analemma di Vitruvio, un metodo gnomonico antico per calcolare la latitudine e l’amplitudine solstiziale. I risultati mostrano che, sebbene il rettangolo solstiziale calcolato in modo corretto non corrisponda esattamente alla sezione aurea, vi si avvicina molto e trova riscontro nella geometria reale del castello.
Infine, si conclude che l’ipotesi di Tavolaro – pur influenzata da suggestioni cosmico-esoteriche – è più coerente con i dati architettonici e astronomici rispetto a quella di Götze, che si basa sul simbolismo della stella ottagona islamica. Tuttavia, alcune incongruenze (come la rotazione planimetrica rispetto al nord geografico) lasciano aperti interrogativi sul reale intento progettuale originario. Anche le suggestive quanto temerarie ipotesi seleniche avanzate da Tavolaro, non riescono a risultare convincenti.